混凝土泵車支腿展開角度的優(yōu)化設計
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混凝土泵車在布料時，由于臂架的伸展與回轉，臂架自重對泵車產生的傾覆力矩不斷變化。合理確定支腿的展開位置，保證泵車在任一工況下整機的穩(wěn)定性，對于安全施工具有重要意義。本文從整機重心的軌跡方程入手，以支腿的展開角度為設計參數，確立優(yōu)化目標函數，確定出評價泵車穩(wěn)定性的指標。通過對現有泵車參數的實際驗算，表明在其它結構未變而僅對展開角度進行調整，泵車的整機穩(wěn)定性可得到大幅度提高。
1 泵車整機穩(wěn)定性的探討
1.1 整機重心軌跡的確定
臂架在展開形式一定的情況下，繞回轉中心轉動時，整機重心位置的變化規(guī)律如圖1。
設點A、B、C、O 分別為整機重心、臂架重心、機體重心（除臂架以外的部分）、臂架回轉中心在水平面的投影位置。以臂架回轉中心O 為坐標原點，O 點與C 點之間的連線為縱軸，建立坐標系。設OB=R，OC=B，臂架在某一位置時與X 軸的夾角為 
，則B點的坐標值為B（ Rcos 
， Rsin 
）， C點的坐標值為C（O， -b）。根據解析幾何和重心理論，其整機重心A 必在B、C 兩點之間的連線上，且A（ (xA，yA）點的坐標為：
，則B點的坐標值為B（ Rcos ， Rsin ）， C點的坐標值為C（O， -b）。根據解析幾何和重心理論，其整機重心A 必在B、C 兩點之間的連線上，且A（ (xA，yA）點的坐標為：
顯然，式（1）是以 
角為參數的參數方程，消除 
角，經變換得：
角為參數的參數方程，消除 角，經變換得：
可見，泵車整機重心變化的軌跡為一個圓，圓心O1（見圖1）的坐標為（0， 
) ，半徑為
。
) ，半徑為 。1.2 泵車整機穩(wěn)定性的衡量指標
設泵車前、后支腿的轉軸位置和支腿長度一定，若前、后支腿的展開角度分別為 
、
、
、
（見圖2），顯然 （ n=1，2，3，4）各角度值的變化范圍應為0 ，900，不同的 
值構成了以支腿為4個頂點的不同的四邊形支承面。衡量各支腿在某一展開角度時，所構造的支承面對整機穩(wěn)定性的好壞，先要求出臂架在3600回轉時，整機重心距該支承面邊緣的最短距離。
、 、 、 （見圖2），顯然 （ n=1，2，3，4）各角度值的變化范圍應為0 ，900，不同的 值構成了以支腿為4個頂點的不同的四邊形支承面。衡量各支腿在某一展開角度時，所構造的支承面對整機穩(wěn)定性的好壞，先要求出臂架在3600回轉時，整機重心距該支承面邊緣的最短距離。 先以軌跡圓的圓心點O1為起始點，以點G為垂足，作四邊形中的任意一條邊如M-N線段的垂線，交軌跡圓于點Q，交線段M-N于點G。設線段QG 的長度值為L1，則L1 為軌跡圓上的點（即臂架回轉時整機重心的位置）到線段M-N的最短距離，用同樣的方法找出四邊形支承面另外3 條邊與軌跡圓所對應的最短線段長度L2、L3、L4。比較L1、L2、L3、L4 值的大小，找出4個長度中最短的一個，設該最短距離為S min，即： S min=min｛L1，L2，L3，L4｝，則S min的長度值便可用來衡量此時整機穩(wěn)定性的指標。顯然， S min越大，穩(wěn)定性越好，反之則穩(wěn)定性越差。由穩(wěn)定性理論，各線段長度L1、L2、L3、L4 必須大于零是比較的前提，否則將導致泵車傾翻。
1.3 最佳展開角度所在值域區(qū)間的判斷
假設支腿的展開角度 
（ n=1，2，3，4）的數值往兩極方向變化，顯然，當 
值過小（→00）或過大（→900）時， S min值均會減小甚至是負值，由于S min為
的連續(xù)函數，因此必有一個 
［00< 
<900 (n=1，2，3，4)］，可使S min→max，也就是說，支腿按該角度布置展開，泵車的整機穩(wěn)定性最好。
（ n=1，2，3，4）的數值往兩極方向變化，顯然，當 值過小（→00）或過大（→900）時， S min值均會減小甚至是負值，由于S min為 的連續(xù)函數，因此必有一個 ［00< <900 (n=1，2，3，4)］，可使S min→max，也就是說，支腿按該角度布置展開，泵車的整機穩(wěn)定性最好。2 穩(wěn)定性優(yōu)化數學模型的建立
2.1 求解整機穩(wěn)定性的最佳支腿展開角度的步驟
整機穩(wěn)定性優(yōu)化數學模型建立的過程也就是按照本文1.1、1.2 和1.3 所說的方法，求得S min、 
。需注意2 點：
。需注意2 點： （1）1.1中所用的方法是在臂架展開形式一定的情況下推導出來的。顯然，臂架全部展開且在水平位置回轉時，整機重心偏移機體支承面的程度最大，即整機的穩(wěn)定性最差。因此研究泵車的穩(wěn)定性問題，就可歸結為研究泵車臂架全部展開且在水平位置回轉時的穩(wěn)定性問題，故將臂架全部展開且水平回轉時，臂架重心距離回轉中心的長度作為（1）式中的回轉半徑R的數值。
(2）支腿在進行角度調整時，因支腿本身具有重量，因此要考慮支腿重心變動時對機體重心位置的影響。為此，可將泵車分為3 個部分：臂架部分、支腿部分以及車體部分。對于一定的 
（n=1，2，3，4），則4個支腿的重心就可完全確定，求出該重心與車體重心的共同重心，并作為式（2）中的機體重心W2，便可利用式（2）求出重心軌跡圓方程。
（n=1，2，3，4），則4個支腿的重心就可完全確定，求出該重心與車體重心的共同重心，并作為式（2）中的機體重心W2，便可利用式（2）求出重心軌跡圓方程。2.2 穩(wěn)定性指標的數學表達式
參見圖2，設點P、S 與點M、N 分別為相鄰兩支腿的轉軸中心與支承點，RM、RN 分別等于線段PM 和線段SN，則點M的坐標為：
設軌跡圓圓心O1 的坐標為（0，y01），點O1到直線MN 的距離為L1，則：
用同樣的方法分別求出L2、L3、L4，則該支承狀態(tài)下，泵車的穩(wěn)定性指標S min可表示為：
2.3 優(yōu)化數學模型
綜上所述，以4 個支腿展開角度
、
、
、
為優(yōu)化設計參數，以穩(wěn)定性指標（整機重心距離支承面的最小距離）達到最大為目標函數，建立如下表達式：
、 、 、 為優(yōu)化設計參數，以穩(wěn)定性指標（整機重心距離支承面的最小距離）達到最大為目標函數，建立如下表達式：
3 計算實例
3.1 優(yōu)化前后的穩(wěn)定性對比
就實際使用的泵車而言，大部分泵車的機體結構（除臂架以外的部分）相對于泵車的縱軸線是對稱布置的，即機體重心與臂架回轉中心均在對稱軸上，支腿的展開角度相對于縱軸線也是對稱布置的，因此上面所述的4個設計變量可歸結為2 個變量，即： = ； = 。
= ； = 。 以某單位實際生產的37m泵車為對象，求該泵車穩(wěn)定性的優(yōu)化解可使用試湊法（取步長0.10或0.050，其精度足以滿足工作需要）或約束變尺度法，輸入泵車的其它相關參數（如臂架重心的回轉半徑和重量值、車體重心的位置和重量值等），得到 、 的優(yōu)化設計結果。該泵車原支腿的展開角度和穩(wěn)定性指標S min與采用優(yōu)化設計后的支腿展開角度和穩(wěn)定性指標S min的比較見表1。優(yōu)化后的S min數值比優(yōu)化前的增加254mm，增加了53.6%.
、 的優(yōu)化設計結果。該泵車原支腿的展開角度和穩(wěn)定性指標S min與采用優(yōu)化設計后的支腿展開角度和穩(wěn)定性指標S min的比較見表1。優(yōu)化后的S min數值比優(yōu)化前的增加254mm，增加了53.6%.
3.2 優(yōu)化效果
（1）原泵車支腿張開后確定的四邊形為矩形，而該最優(yōu)解為等腰梯形。
（2）避免了常規(guī)設計時難以精確考慮支腿本身自重的問題。支腿自重約占整車重量12%左右，因此對穩(wěn)定性有較大影響。
（3）通過對支腿展開角度的優(yōu)化，顯著提高了泵車整機的穩(wěn)定性，進而減少因操作等原因造成的泵車傾翻事故。
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