分形幾何在混凝土研究中的應(yīng)用及其前景

摘 要:混凝土材料的復(fù)雜性及其非線性力學行為越來越受到重視. 首先論述了混凝土研究的復(fù)雜性和應(yīng)用分形理論研究混凝土問題的可行性，其次詳述利用分形理論研究混凝土問題的方法， 最后指出分形理論在混凝土研究中的應(yīng)用前景.

關(guān)鍵詞：分形幾何，混凝土，分維

    作為應(yīng)用十分廣泛的建筑材料之一，混凝土是一種非均勻的多級多相介質(zhì)，由于成型工藝、養(yǎng)護條件等原因，在構(gòu)件承載之前，混凝土不同層次的相界面及水泥漿本身，已經(jīng)存在著大量的由干縮及凝結(jié)硬化所引起的各種尺度的隨機分布裂紋，即初始損傷. 這些初始損傷在荷載作用下將進一步擴展，其演化是非線性的，導(dǎo)致混凝土的力學性能呈現(xiàn)出明顯的非線性及各向異性.

    分形[1 ] (Fractal) 是由IBM( International Business Machine) 公司研究中心物理部研究員暨哈佛大學數(shù)學系教授美籍法國數(shù)學家Mandelbrot 于1975 年首先提出的，它與耗散理論以及混沌被稱為20 世紀70 年代科學上的三大發(fā)現(xiàn)，是非線性科學研究中的重要成果。 它為人們從局部認識整體，從有限認識無限提供新的方法論，為不同學科發(fā)現(xiàn)的規(guī)律性提供嶄新的語言和定量的描述，為現(xiàn)代科學技術(shù)提供新思想新方法。 近20 年來，分形理論已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用，在包括物理、化學、生物學、天文學、材料學、計算機圖形學、經(jīng)濟學、哲學等相對獨立的領(lǐng)域內(nèi)獲得了大量成果。事實上不同學科領(lǐng)域現(xiàn)象之間存在驚人的相似性，因此分形理論有可能成為聯(lián)結(jié)現(xiàn)代各學科的緯線。 筆者就分形在混凝土研究中的應(yīng)用作一介紹，并就其應(yīng)用前景進行進一步分析。

1 　分形理論在混凝土研究中的應(yīng)用

1. 1 混凝土骨料的分形性

    混凝土宏觀性能所呈現(xiàn)出的不確定性、不規(guī)則性、模糊性、非線性，是其微觀結(jié)構(gòu)復(fù)雜性的反映[2 ] . 目前人們對混凝土微觀性與宏觀性的關(guān)系尚末完全研究清楚，混凝土作為具有復(fù)雜微觀結(jié)構(gòu)的多級多層次的復(fù)合材料體系，尤其是骨料的級配具有突出的自相似性，完全可以利用分形幾何學進行研究。并且通過研究，得出結(jié)論：混凝土細骨料顆粒(粒徑) 級配質(zhì)量分布與細骨料顆粒(粒徑) 級配體積分布相等，都與體積分維數(shù)有關(guān)，不同的分維值對應(yīng)不同的級配關(guān)系，同樣分形體積與分形孔隙率也與分維值有關(guān)，進而指出由于混凝土是一種微觀結(jié)構(gòu)及力學性能都很復(fù)雜的大宗工程材料，為此人們做了大量的研究工作，但迄今還有許多問題尚未弄清。利用分形幾何學原理對混凝土微觀結(jié)構(gòu)、細觀層次下的力學性能及自相似特征的描述是十分有效的，無疑對混凝土研究開創(chuàng)了一個新的方法。研究表明[3 ] ，混凝土中存在許多的分形現(xiàn)象，混凝土孔隙與土孔隙相似，都是具有多層次自相似的混沌體，對這種分形現(xiàn)象進行深入分析，是研究混凝土復(fù)雜性本質(zhì)的有效途徑。

1. 2 　混凝土裂紋擴展的分形動力學

    對于脆性及半脆性的混凝土斷裂問題，目前研究的仍很不夠，其原因在于混凝土這種材料斷裂極其復(fù)雜[4 - 7 ] . 混凝土斷裂要經(jīng)過萌生、擴展(平速) 和動態(tài)斷裂(加速) 的復(fù)雜過程，且該過程又受混凝土應(yīng)力狀態(tài)、材料強度、原生缺陷等多種因素制約，從而造成混凝土斷裂過程中出現(xiàn)一系列的復(fù)雜裂紋運動現(xiàn)象： ① 斷裂萌生過程中的微裂隙形成；②裂紋擴展過程中的沿晶、穿晶及其耦合形式；③原生缺陷的干擾； ④動態(tài)斷裂中的裂紋分叉、協(xié)同貫通及沿剪切面的突變滑移； ⑤羽狀裂隙的形成，等等，從而導(dǎo)致裂紋的擴展路徑彎彎曲曲，極不規(guī)則。大量研究表明，裂紋的擴展路徑具有分形特征。裂紋在萌生過程中，其過程區(qū)形成微裂隙網(wǎng)絡(luò)，微裂隙網(wǎng)絡(luò)具有分形特征，其分形維數(shù)隨著應(yīng)力的增加會逐漸增大，直到裂紋開裂擴展，此區(qū)域的微裂隙網(wǎng)絡(luò)的分形維數(shù)才穩(wěn)定下來，形成一個過渡的分形穩(wěn)定域. 隨應(yīng)力的變化，裂紋繼續(xù)此過程，從而過渡到下一個分形微裂隙域。裂紋在擴展過程中，一般表現(xiàn)為沿晶斷裂擴展、穿晶斷裂擴展及其耦合三種形式，中國學者謝和平[1 ] 對大理石建立了三種形式的裂紋分形模型，并計算出相應(yīng)的分形維數(shù)和裂紋臨界擴展力，對深入研究混凝土微現(xiàn)斷裂機理十分有益. 裂紋擴展分叉是一個非線性現(xiàn)象，它可使斷裂韌性值增加。其分叉的非規(guī)則性是材料物理力學、變形破壞和微結(jié)構(gòu)效應(yīng)的綜合反映。 若假設(shè)其為自相似分叉系統(tǒng)，可建立其分叉的分形模型為：

D = ln3/ ln (2cos β2 )

    若綜合考慮裂紋的萌生微裂隙域的形成，裂紋的擴展和動態(tài)分叉斷裂、裂隙擴展路徑的復(fù)雜程度及分形維數(shù)的大小與受力特征、材料性質(zhì)有直接聯(lián)系. 一般而言，同一種混凝土材料裂紋尖端承受剪應(yīng)力時其分形維數(shù)明顯大于受張應(yīng)力的情形，且裂紋尖端剪應(yīng)力越大，裂紋擴展的路徑越復(fù)雜，其維數(shù)值越高。

    李廷芥[2 ] 等進行的試驗研究表明，裂紋擴展導(dǎo)致其表面自由能的耗散量、裂紋擴展速度與裂紋的分形維數(shù)D 有如下關(guān)系：

ΔE = A ·d- DG0

V = ( d Δα) 1 - DV 0

    式中　G0 為斷裂韌度；d 為分形標度下限；V 0 為測量裂紋擴展步長為Δα時的表觀擴展速度上式表明：低維數(shù)值對應(yīng)著混凝土中裂紋的快速生成和擴展，以及彈性能快速轉(zhuǎn)變成動能，從而導(dǎo)致動態(tài)破壞現(xiàn)象的發(fā)生，這一點對混凝土破壞的預(yù)測具有重要的理論價值。

    構(gòu)件的斷裂是結(jié)構(gòu)材料最危險的失效形式，所以斷裂力學一直是材料學包括建筑材料學的研究熱點。傳統(tǒng)的連續(xù)介質(zhì)斷裂力學理論建立了材料宏觀力學性能測試和結(jié)構(gòu)設(shè)計的基礎(chǔ)，但如前所述，它尚不能從細觀和微觀尺度揭示材料組織結(jié)構(gòu)與性能之間的關(guān)系，而這是材料科學的根本問題。文獻[ 8 ]首先嘗試將分形幾何用于混凝土類材料的斷裂研究，認為不規(guī)則的混凝土斷口同樣具有統(tǒng)計自相似性和分形持征。根據(jù)混凝土裂紋的擴展路徑和分形幾何原理，他們從微觀尺度分別建立了沿晶脆斷、穿晶脆斷、沿晶和穿晶偶合斷裂的微觀分形模型，井將預(yù)測的分維值與采用周長面積法實測的大理石直接拉伸試樣的分維值進行了比較，得到了基本一致的結(jié)果. 通過分形分析給出了沿晶和偶合斷裂最容易發(fā)生的定量描述，作者指出混凝土斷裂表面的分維可能是混凝土材料組織結(jié)構(gòu)、變形和破壞過程的綜合相關(guān)的幾何參量。文獻[ 9 ] 指出分形幾何可以應(yīng)用于脆性和準脆性斷裂研究， 經(jīng)典的方法不適合于分形斷裂，斷裂的能量吸收率可以和斷口的分形測度即分維建立聯(lián)系。微裂紋花樣的分形特征可以概括混凝土、陶瓷等多相材料的斷裂能量。文獻[ 10 ]分析了裂紋擴展速率的分形效應(yīng)，結(jié)果表明在相同晶粒尺寸的材料中，沿晶和偶合斷裂具有最快的擴展速率。 所有這些，如果不考慮分形就不可能定量地反映出這些規(guī)律性，也不可能直接建立微觀與宏觀相結(jié)合的表達式。 宏觀裂紋分叉使斷韌性提高，這一直是斷裂力學研究的一個課題。一些學者從裂紋頂端存在夾雜、空隙等而引起裂紋重新形核和擴展來探討是應(yīng)力強度因子增大的機理，而另一些學者從裂紋分叉的非規(guī)則性來研究斷裂韌性的提高。

    誘發(fā)材料宏觀物理力學性能劣化的內(nèi)部微裂紋或孔隙發(fā)育、演化行為稱作損傷。 選擇恰當?shù)膿p傷變量描述損傷及其演化律，建立損傷宏觀力學響應(yīng)與微紉觀結(jié)構(gòu)效應(yīng)之間的定量關(guān)系是損傷力學研究最基本、同時也是最感興趣的問題之一。近年來分形幾何已成為定量描述材料損傷斷裂宏細微觀力學行為的有力工具，這類工作主要揭示了材料損傷行為的分形持征，并將實驗數(shù)據(jù)擬合損傷分形描述與宏觀力學量之間的對應(yīng)關(guān)系。文獻[11 ]首先研究了混凝土類材料損傷演化過程的自相似性規(guī)律，發(fā)現(xiàn)損傷演化是一個分形，分形能刻劃材料損傷斷裂的整個過程。文獻[12 ]結(jié)合損傷力學和分形幾何理論，在分數(shù)維空間給出了分形損傷變量定義及其解析表達式，指出歐氏空間損傷變量實際是分數(shù)維空間分形損傷變量， 將歐氏空間損傷變量定義推廣到分數(shù)維空間，建立了一種兼顧反映損傷細觀結(jié)構(gòu)效應(yīng)和宏觀損傷力學分析需要的損傷定義與描述方法。 在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了材料損傷演化律和損傷本構(gòu)關(guān)系的分形表達形式，揭示了宏觀損傷力學性能變化對損傷微細觀結(jié)構(gòu)效應(yīng)的依賴關(guān)系。

1. 3 分形在混凝土材料聲發(fā)射研究中的應(yīng)用

    混凝土內(nèi)部含有許多不同性質(zhì)的缺陷、裂紋及微觀構(gòu)造上的不均勻性，其受載斷裂過程實質(zhì)上是一個由原生裂隙到微裂紋擴展，隨后出現(xiàn)宏觀斷裂的連續(xù)過程。而斷裂力學是以主裂紋的開裂作為材料斷裂的判別依據(jù)，當采用斷裂力學理論解決混凝土的斷裂問題時，一個很重要的問題，就是如何確定臨界條件，即在上述連續(xù)過程中取哪一狀態(tài)為開裂的臨界狀態(tài)。 大量實驗表明，混凝土在整個斷裂過程中都伴有聲發(fā)射產(chǎn)生，并且在不同階段有著不同的聲發(fā)射特征。 分形幾何是近幾年發(fā)展起來的研究在自相似意義下所具有的尺度不變性的數(shù)學分支。

    文獻[13 ]通過試驗結(jié)果證明，混凝土材料的聲發(fā)射過程具有分形特征。分形特征是聲發(fā)射過程在自相似意義下所具有的尺度不變性，它可以作為從復(fù)雜多變的聲發(fā)射信號中提取有關(guān)材料內(nèi)部變化的可靠信息的內(nèi)在根據(jù)，其所建立的分形特征函數(shù)從自相似的角度反映了聲發(fā)射過程的性質(zhì)。這一特征函數(shù)不僅可用于材料聲發(fā)射性能的研究，而且可用來探討力學過程與材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)演化之間的關(guān)系(即本構(gòu)關(guān)系) 。 聲發(fā)射特征參數(shù)同樣能明顯地表達出斷裂過程中材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)演化的進程，而且與基本聲發(fā)射參數(shù)相比，特征參數(shù)有更好的穩(wěn)定性和直觀性，因而更便于應(yīng)用，在臨界狀態(tài)下，各聲發(fā)射分形特征參數(shù)表現(xiàn)出一定的異?！澳Ｊ健?，而且不同參數(shù)對這種異常的反映是一致的。 因此，這種識別模式可以作為材料出現(xiàn)臨界斷裂的識別特征。

1. 4 　基于分形理論的混凝土質(zhì)量評價

    對于混凝土中裂隙分布的高度不均勻性，可應(yīng)用分形方法對這種非均勻性進行研究。這種方法可以用來分析沿某一測量方向的事件發(fā)生的可能性與不均勻性，測量過程如下:

用某一尺度ri將一段巖心劃分成M 段小區(qū)間，如果這M 段小區(qū)間中有m 段小區(qū)間含有裂隙，那么在

該尺度下裂隙出現(xiàn)的概率P 為　　　　　　　　Pi = m/ M

改變測量的尺度ri為ri + 1 ，則有不同的概率P 與之相對應(yīng). 按上述定義有　　

Pi = Ni / Mi

式中　Ni為在ri尺度下Mi段巖心中出現(xiàn)裂隙的混凝土段數(shù)

由于　　　　　　　　　　　　　　　　Mi = L/ ri

則有　　　　　　　　　　　　　　　　Pi = Ni ri / L

式中　L 為所取混凝土試樣段的長度

從而　　　　　　　　　　　　　　　　Pi = C

對于Cantor 集合，令C = 1 ，則一個長度為r = (1/ 3) n的步長包含有一條線段的概率為

p n = (2/ 3) n ，于是D = log2/ log3 ，這和用分形的定義公式計算的結(jié)果是一樣的。

    將一系列的ri和p i的數(shù)據(jù)投影到log p —log r 的雙對數(shù)坐標圖上得到一系列點，在圖上找出無標度區(qū)，然后用最小二乘法擬合該直線. 該直線段的斜率即為1 —D ，這樣即可求出該段混凝土的分維值D ，進而作為判斷混凝土澆注質(zhì)量的依據(jù)。

2 　分形幾何在混凝土研究中的應(yīng)用展望

    如前所述：混凝土材料從形成機理到受力變形特征均表現(xiàn)出強烈的分形行為，因此建立混凝土分形理論立論充分，其理論框架如下：

第一，應(yīng)用分形理論和計算機技術(shù)構(gòu)造或生成混凝土的分形模型，研究其孔隙、破碎的生成機理及其形成有關(guān)參數(shù)、物理性質(zhì)、化學性質(zhì)與分形演化的關(guān)系。

第二，利用計算機模擬和實驗等手段研究混凝土材料受力變形和破壞的力學機理，并建立分形演化與其物理力學參數(shù)的關(guān)系.

第三，建立分形演化動力學方程，構(gòu)造混凝土分維動態(tài)本構(gòu)模型，并軟件化，實現(xiàn)混凝土變形和破壞的可視化模擬. 混凝土材料分形行為的研究，為認識混凝土變形破壞機理提供了可視的研究手段，并為從更深層次認識混凝土材料變形破壞、非線性、復(fù)雜性架起了橋梁[ 14 ]。

(1) 上述大量分析表明，混凝土材料變形破壞過程中的各類分形圖景貌似無序、無規(guī)則中的規(guī)則，非確定中的確定，可以用固定函數(shù)，圖形或綜合按照分形法則來構(gòu)造和模擬，這恰是混沌理論所要闡述的?；炷敛牧蟿恿W演化過程具有混沌特征： ①混沌是混凝土材料中固有的，其運動狀態(tài)的復(fù)雜性受混凝土材料本身內(nèi)部固有缺陷所決定； ②混沌是決定論的，混凝土材料每時每刻的狀態(tài)均受前一時刻狀態(tài)的制約； ③ 混沌出現(xiàn)在混凝土材料裂紋演化、破裂點變化過程或系統(tǒng)中； ④裂紋擴展或材料破壞對初值的敏感性、演化過程中非周期性以及分形性也是具有混沌吸引系產(chǎn)生的條件。

(2) Thom 的突變理論最早(1972) 出現(xiàn)在《結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和形態(tài)發(fā)生學》一書中，說明突變理論更主要的是關(guān)于形態(tài)發(fā)生的科學，混凝土材料破壞過程中，表現(xiàn)出一系列演化著的分形形態(tài)，其演化著的分形形態(tài)存在著突變，例如裂紋突然擴展，混凝土的突然破裂，地震的突然發(fā)生，斷層的突然滑移等等， 因此突變理論能夠更好地刻劃混凝土材料分形動力學行為中的突變現(xiàn)象。

(3) 混凝土材料裂紋演化的協(xié)同效應(yīng)。 對于混凝土材料，成巖后和變形后出現(xiàn)的圖形均是靜態(tài)的，而在變形過程中卻表現(xiàn)出了擴張或收縮性的動態(tài)分形圖景。著名的Mandelbrot 集、J ulia 集以及Smale 馬碲映射、Henone 映射等從理論上證實這種分形演化的動力行為。如在地震前期地層中的微破裂點集就是典型的離散點集式收縮域分形，采動巖體裂隙分形演化也是一個典型的變維分形，混凝土動態(tài)破碎(爆破) 卻是一個擴張域分形， 因此研究建立混凝土類材料分形動力學理論具有廣泛的工程適用性。 遠平衡條件下的非線性動力學在材料科學領(lǐng)域的應(yīng)用日益廣泛。在很多情況下，材料的生長被一些在遠離熱平衡條件下進行的過程控制著. 分形理論的進展必將為混凝土材料科學的研究提供更有力的方法和觀點。

應(yīng)用分形理論解決問題應(yīng)注意以下幾點：

①     分形既可以是幾何實體也可以是由“功能”或“信息”等架起的數(shù)理模型；

②     分形可以同時具有形態(tài)、功能和信息三方面的自相似性，也可以只具有其中某一方面的自相似性，這樣就使分形理論研究的領(lǐng)域大大拓寬，分形中的自相似性可以是絕對的相同，也可以是統(tǒng)計意義上的相似，自然界中前者很少見到，而后者卻比比皆是；

③     分形的相似性有層次上的差異。數(shù)學上的分形具有無限嵌套的層次結(jié)構(gòu)，自然界中的分形只有有限的層次嵌套，且要進入一定的層次后才可以有分形的規(guī)律；

④     分形的相似性有級別上的差異，級別即使用生成元的次數(shù)或放大的倍數(shù). 級別最高的是整體，級別最低的是零級生成元，級別越接近，則越相似，級別相差越大，相似性越差，有時甚至根本不相似，這就涉及到標度區(qū)間或標度不變性范圍. 一旦逾越標度區(qū)間，自相似性就不復(fù)存在，因此就談不上分形了.

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